Trigonometri og Landmåling

MATEMATIK B 2018

Matematik 10. kl.

(Timer meriteres til HF eller afviklet efteråret 2018) Lærer: ML

TRIGONOMETRI OG LANDMÅLING (Omfang: 20 timer plus fordybelsestid: 5 timer)

efteåret 2017

Særlige fokuspunkter

  • Operationelle beregningskompetencer ved trekantsberegninger. Særligt omregning til nygrader og radianer, kongruente trekanter, Pythagoras, enhedscirklen, sinus, cosinus, tangens, sinusrelationerne samt cosinusrelationen.
  • beherskelse af simple overgangsformler mellem sinus og cosinus.
  • anvendelseskompetencer for regneark samt CAS.

Kernestof

  • forholdsberegninger i ensvinklede trekanter, simple konstruktioner af og trigonometriske beregninger i vilkårlige trekanter i et matematisk værktøjsprogram
  • analytisk beskrivelse af linjer og cirkler, opstilling og løsning af plangeometriske problemer, herunder vinkel, skæring og afstand
  • grafisk håndtering af simple trigonometriske funktioner og deres egenskaber i et matematisk værktøjsprogram

Supplerende stof

  • matematikhistoriske perspektiver på trigonometriens udvikling samt nedslag i geodæsiens udvikling

Kompetencefokus:

  • regne med forholdstal mellem ligedannede trekanter
  • beregne vinkler i polygoner
  • beregne sidelængder i en retvinklet trekant ud fra Pythagoras' læresætning
  • redegøre for enhedscirklen samt grader, nygrader og radianer
  • redegøre for definitionerne af sinus, cosinus og tangens samt deres overgangsformler
  • anvende sinus- og cosinusrelationen til at beregne sider og vinkler i en vilkårlig trekant

Arbejdsformer

  • øvelsestimer med problemløsning og træning af operationelle kompetencer i grupper. gruppefremlæggelser og lærerfeedback til individuelle elever samt grupper.
  • fælles udvikling og gennemgang af beviser for centrale resultater med udgangspunkt i læreroplæg og konkrete problemstillinger.
  • udarbejdelse af selvstændig skriftlig redegørelse for trigonometriens historiske udvikling, anvendelsesområder samt centrale definitioner og sætninger. (angivet ved fordybelsestid)

Forbindelse til andre fag

  • historisk gennemgang af afstandsmålinger, astronomi og kosmologi - som afsæt til verdensbilleder i religion og historie

Anvendt trigonometri, landmåling og kartografi (Omfang: 21 t plus fordybelsestid: 10 t)

efteråret 2017

Faglige mål og fokuspunkter

  • opstille og redegøre for geometriske modeller i forbindelse med landmåling og kartografi
  • løse konkrete anvendelsesorienterede geometriske problemstillinger i forbindelse med overbestemte systemer af data om vinkler og afstand ved landmåling - herunder brug af sinus- og cosinusrelationerne til problemløsning i 'felten' samt behandling af ca. 2.000 målepunkter og vinkler.

Kernestof

  • forholdsberegninger i ensvinklede trekanter, simple konstruktioner af og trigonometriske beregninger i vilkårlige trekanter i et matematisk værktøjsprogram
  • analytisk beskrivelse af linjer og cirkler, opstilling og løsning af plangeometriske problemer, herunder vinkel, skæring og afstand
  • grafisk håndtering af simple trigonometriske funktioner og deres egenskaber i et matematisk værktøjsprogram

Supplerende stof

  • bearbejdning af autentisk datamateriale, herunder statistisk behandling af grupperet talmateriale
  • Kompetencefokus:
  • foretage vinkelmålinger i horisontalt og vertikalt plan med en teodolit
  • foretage nivelleringsmålinger langs en linie
  • udlægge et hensigtsmæssigt trianguleringsnet i et måleområde
  • planlægge og udføre et landmålingskort med detailmålinger og højdekurver

Arbejdsformer

  • rejse med indsamling af måledata om vinkler, afstand og detailmålinger ved udvalgt kupperet og kystnært område i Danmark (ikke medregnet i timetal)
  • behandling af måledata
  • konstruktionsgeometrisk udarbejdelse af topografisk kort i målestoksforhold 1:2.000 over det udvalgte område (ikke medregnet i timetal)

Forbindelse til andre fag

  • rejseaktivitet med opbygning af fælles referenceramme til arbejdet med naturgeografi

Matematik 1. HF

ARITMETIK OG ALGEBRA

30 timer

efteråret 2018:

Her repeteres de fire grundlæggende regnearter fra aritmetikken, men nu med forståelsen af regnearterne som operationer med særlige symmetrier og egenskaber som f.eks. kommutativitet, associativitet og transitivitet. Regnereglerne for de reelle tal afrundes med udvidelse af potensregnereglerne og ekstra fokus på specialtilfælde som kvadratsætningen. Den elementære algebras operationer indøves gennem ligninger og uligheder af 1. og 2. grad.

Kernestof

  • overslagsregning, regningsarternes hierarki, simpel symbolmanipulation, ligefrem og omvendt proportionalitet, det udvidede potensbegreb, ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder samt numeriske metoder med brug af matematiske værktøjsprogrammer, tilnærmet og eksakt værdi samt absolut værdi
  • analytisk beskrivelse af linjer og cirkler, opstilling og løsning af plangeometriske problemer, herunder vinkel, skæring og afstand
  • grafisk håndtering af simple trigonometriske funktioner og deres egenskaber i et matematisk værktøjsprogram

Supplerende stof

  • matematikhistoriske perspektiver på trigonometriens udvikling samt nedslag i geodæsiens udvikling

Arbejdsformer

  • øvelsestimer med problemløsning og træning af operationelle kompetencer i grupper. gruppefremlæggelser og lærerfeedback til individuelle elever samt grupper.
  • fælles udvikling og gennemgang af beviser for centrale resultater med udgangspunkt i læreroplæg og konkrete problemstillinger.
  • udarbejdelse af selvstændig skriftlig redegørelse for trigonometriens historiske udvikling, anvendelsesområder samt centrale definitioner og sætninger. (angivet ved fordybelsestid)

Forbindelse til andre fag

  • historisk gennemgang af afstandsmålinger, astronomi og kosmologi - som afsæt til verdensbilleder i religion og historie

UDVIKLINGSRÆKKER; EKSPONENTIALFUNKTIONER OG LOGARITMER

20 timer

efteråret 2019:

Her tilegnes de centrale forståelser og regneregler for eksponential- og logaritmeregning gennem populationsvækst, rente- og annuitetsregning, pH begrebet for vandige koncentrationer, Richter skala, decibel og radioaktivt henfald. Talrækker undersøges ved rekursive algoritmer med særligt fokus på fibonaccital og det gyldne snit.

Kernestof:

  • procent- og rentesregning, absolut og relativ ændring, renteformel

Supplerende stof:

  • opsparings- og gældsannuitet
  • anvende logaritmeregnereglerne til at løse ligninger med eksponentialfunktioner
  • opstille eksponentialligningsmodeller ud fra vækst, forfald eller rentescenarier
  • foretage beregninger for samtlige variable ved annuitets- og rentesregning
  • opstille rekursive algoritmer og arbejde med dem i regneark

Funktionslære:

Ved dette emne arbejdes med funktionsbegrebet som afbildning mellem en definitions- og en værdimængde, hvor mængdernes elementer knyttes sammen ved algoritmer, formler eller grafer.

Kernestof:

  • funktionsbegrebet, sammensat funktion, stykkevist defineret funktion, karakteristiske egenskaber ved følgende elementære funktioner og deres grafiske forløb: lineære, polynomier, eksponential-, potens- og logaritmefunktioner

Kompetencefokus:

  • arbejde med funktioner ud fra formler, algoritmer og grafer
  • forstå og anvende begrebet invers funktion
  • konstruere en sammensat funktion ud fra to givne funktioner
  • angive definitionsmængden for en given funktion

Arbejdsformer:

Læreroplæg, øvelsesopgaver i grupper, større regelmæssige selvstændige afleveringer, gruppearbejde med konkrete undersøgelser og opgaver. Visualisering med digitale metoder, bl.a. Desmos og WolframAlpha. Modellering af diskrete udviklinger i R.

GRUNDLÆGGENDE ANALYTISK GEOMETRI

30 timer

efteråret 2018:

Her arbejdes med grafer for funktioner i det cartesiske koordinatsystem. Forståelsen af grundlæggende transformationer og forskydninger indføres gennem arbejdet med grafer for polynomier, eksponentialfunktioner og trigonometriske funktioner.

Kernestof:

  • analytisk beskrivelse af linjer og cirkler, opstilling og løsning af plangeometriske problemer, herunder vinkel, skæring og afstand.
  • funktionsbegrebet, sammensat funktion, stykkevist defineret funktion, karakteristiske egenskaber ved følgende elementære funktioner og deres grafiske forløb: lineære, polynomier, eksponential-, potens- og logaritmefunktioner

Kompetencefokus:

  • redegøre for sammenhængen mellem funktion og graf i et cartesisk koordinatsystem
  • redegøre for betydningen af koefficienterne i linjens ligning
  • opstille ligningen for en linje, givet to punkter
  • konstruere parallelle og ortogonale linjer til en given linie
  • bestemme skæringspunkt for to linjer
  • bestemme afstand mellem punkter og afstand mellem punkt og linje
  • orientere sig i keglesnittenes formler
  • danne et hurtigt overblik over en grafs forløb ud fra skæringer med akserne
  • forskyde en funktion langs ordinat- og abscisseaksen
  • skitsere en funktions omtrentlige form ud fra dens beskrivelse.
  • Redegøre for hvordan det ændrer grafens forløb, når man ændrer parametrene i eksponential og og logaritmefunktioner samt trigonometriske funktioner.

Arbejdsformer:

Læreroplæg, øvelsesopgaver i grupper, større regelmæssige selvstændige afleveringer, gruppearbejde med konkrete undersøgelser og opgaver. Visualisering med digitale metoder, bl.a. Desmos og WolframAlpha.

PROJEKTIV GEOMETRI

10 timer

efteråret 2018:

Gennem projektionstegning, perspektivtegning og aksionometri indarbejdes en fortrolighed med projektioner, der danner grundlag for et videre arbejde med ikke-euklidiske geometrier samt projektiv geometri med Desargues sætning og dualitetsprincippet. Øvelser i rumlig visualisering understøtter de formelle kompetencer i den projektive geometri.

Kompetencefokus:

  • redegøre for billedplanet i perspektivtegning
  • konstruere simple perspektivtegninger ud fra et centralt forsvindingspunkt
  • konstruere perspektiviske forkortelser ud fra 45 graders forsvindingspunkter
  • konstruere slagskygger for simple objekter, givet en lyskilde
  • redegøre for iso-, di- og trimetri
  • kende til fundamentalsætningen i projektiv geometri
  • redegøre for Desargues sætning og dualitetsprincippet ud fra egne konstruktioner

Arbejdsformer:

Praktisk selvstændig konstruktionstegning med passer og lineal af udvalgte problemstillinger og eksemplariske konstruktioner.

SANDSYNLIGHED OG STATISTIK

40 timer

efteråret 2019

Indføring i standarder for den deskriptive statistik samt grundlæggende regler for kombinatorik. Forståelsen for emnerne uddybes ved projektarbejder samt analyser af mediers brug og fremstilling af statistisk data.

Kernestof:

  • simple statistiske metoder til håndtering af et diskret datamateriale, grafisk præsentation af statistisk materiale, stikprøve og empiriske statistiske deskriptorer, samt anvendelse af lineær, eksponentiel, potens og polynomiel regression, herunder usikkerhedsbetragtning og residualplot.
  • kombinatorik, grundlæggende sandsynlighedsregning, sandsynlighedsfelt og stokastisk variabel, binomialfordeling samt normalfordelingsapproksimation hertil, konfidensinterval og hypotesetest i binomialfordelingen
  • principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering med anvendelse af nogle af ovennævnte funktionstyper og kombinationer heraf

Supplerende stof:

  • bearbejdning af autentisk datamateriale, herunder statistisk behandling af grupperet talmateriale

Kompetencefokus:

  • planlægge og udføre systematisk indsamling af data
  • præsentere data i histogramform
  • forholde sig kritisk til det statistiske grundlag ved mediers præsentation af resultater
  • udføre kombinatorikberegninger med og uden tilbagelægning
  • anvende binomialkoefficienten ved beregning af binomialfordelinger
  • orientere sig i problemstillinger repræsenteret ved en normalfordeling
  • beskrive indsamlet data ved middelværdi, median, typetal, kvartil og varians
  • opstille en nul-hypotese for normal- og binomialfordelt dtáta og teste den
  • reflektere over balancen mellem type I og type II fejl
  • bruge R til modellering af simple problemstillinger
  • anvende R til analyse og reflektion over eksponentiel,lineær og multiple lineær regression.
  • Forklare en regressionsmodels validitet ud fra residualer og residualplot.
  • Anvende Chi-kvadrat test til undersøgelse af hypoteser i kulturfagsgruppen.

Arbejdsformer:

Problemløsning af øvelsesopgaver i grupper, selvstændig test af egne hypoteser om forhold i kulturfagsgruppen, der kan tilgås ved binomial-, regressions og chi-kvadratbetragtninger og tests. Sortering og digital indsamling af data i R. Modellering af stokastiske problemstillinger ved programering i R.

Forbindelse til andre fag:

  • Kritisk perspektivering og analyse af mediers brug af statistik, særligt korellation vs. Kausalitet og konfidensintervaller samt hypotesetests.
  • Støtte til afklaring af falsiciferbare hypotesers evt. forkastelse i samtlige fag.

2. HF

DIFFERENTIALREGNING:

50 timer

foråret 2019, samt efteråret 2019

Ud fra arbejde med emnet vækst og hældning udledes differentialkvotienten, grænseværdibegrebet og differentiation. Der arbejdes med regler for polynomiums-, eksponential-, logaritme- og trigonomifunktioner samt kombinationer af disse. Ud fra differentiation indøves udledning af tangenter og optimering af funktioner. Stamfunktionsbegrebet bliver indarbejdet som omvendt operation til differentiering såvel som udtryk for arealet.

Kernestof:

  • definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, afledet funktion for de elementære funktioner samt differentiation af sum, differens og produkt af funktioner samt differentiation af sammensat funktion
  • monotoniforhold, ekstrema og optimering og sammenhængen mellem disse begreber og begrebet differentialkvotient
  • principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering med anvendelse af nogle af ovennævnte funktionstyper og kombinationer heraf

Supplerende stof:

  • simpel matematisk modellering med afledet funktion
  • matematikhistoriske perspektiver på udvalgte emner

Kompetencefokus:

  • definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, afledet funktion for de elementære funktioner samt differentiation af sum, differens og produkt af funktioner samt differentiation af sammensat funktion
  • monotoniforhold, ekstrema og optimering og sammenhængen mellem disse begreber og begrebet differentialkvotient

Arbejdsformer:

Læreroplæg, øvelsesopgaver i grupper, større regelmæssige selvstændige afleveringer, gruppearbejde med modellering og optimering af fysiske og økonomiske fænomener, afprøvning og visualisering med digitale metoder, bl.a. Desmos og WolframAlpha.

Forbindelse til andre fag:

  • Idehistorisk udvikling og uendelighedsbetragtninger ift. religion og historie.
  • Matematiske modeller af fysiske, kemiske, geografiske, biologiske og økononiske sammenhænge.

UDVALGTE EMNER:

efteråret 2018:

15 timer

Vektorregning og rumgeometri: repræsentation af vektorer, addition, subtraktion skalering, projektion, prikprodukt, længde og vinker mellem vektorer.

efteråret 2019:

15 timer

Talteori: deduktiv bevisførelse ift. primtals delelighed, antallet af primtal samt anvendelse af Euklids formel for største fælles divisor.